السبت، 28 أبريل 2012

الجهد الكهربائي


الجهد الكهربي Electric Potential

تعلمنا في الفصول السابقة كيف يمكن التعبير عن القوى الكهربية أو التأثير الكهربي في الفراغ المحيط بشحنة أو أكثر باستخدام مفهوم المجال الكهربي.  وكما نعلم أن المجال الكهربي هو كمية متجهة وقد استخدمنا لحسابه كلا من قانون كولوم وقانون جاوس.  وقد سهل علينا قانون جاوس الكثير من التعقيدات الرياضية التي واجهتنا أثناء إيجاد المجال الكهربي لتوزيع متصل من الشحنة باستخدام قانون كولوم.
في هذه الفصل سوف نتعلم كيف يمكننا التعبير عن التأثير الكهربي في الفراغ المحيط بشحنة أو أكثر بواسطة كمية قياسية تسمى الجهد الكهربي The electric potential.  وحيث أن الجهد الكهربي كمية قياسية وبالتالي فسيكون التعامل معه أسهل في التعبير عن التأثير الكهربي من المجال الكهربي.

في هذا الموضوع سندرس المواضيع التالية:-
(1)        تعريف الجهد الكهربي.
(2)        علاقة الجهد الكهربي بالمجال الكهربي.
(3)        حساب الجهد الكهربي لشحنة في الفراغ.
(4)        حساب المجال الكهربي من الجهد الكهربي.
(5)        أمثلة ومسائل محلولة.

قبل أن نبدأ بتعريف الجهد الكهربي أو بمعنى أصح فرق الجهد الكهربي بين نقطتين في مجال شحنة في الفراغ سوف نضرب بعض الأمثلة التوضيحية.

مثال (1)
عند رفع جسم كتلته m إلى ارتفاع h فوق سطح الأرض فإننا نقول أن شغلا خارجيا (موجبا) تم بذله لتحريك الجسم ضد عجلة الجاذبية الأرضية، وهذا الشغل سوف يتحول إلى طاقة وضع مختزنة في المجموعة المكونة من الجسم m والأرض.  وطاقة الوضع هذه تزداد بازدياد المسافة h لأنه بالطبع سيزداد الشغل المبذول.  إذا زال تأثير الشغل المبذول على الجسم mفإنه سيتحرك من المناطق ذات طاقة الوضع المرتفعة إلى المناطق ذات طاقة الوضع المنخفضة حتى يصبح فرق طاقة الوضع مساوياً للصفر.
مثال (2)
نفرض إناء على شكل حرف U به ماء كما في شكل 5.1 .  تكون طاقة الوضع لجزئ الماء عند النقطة B أكبر من طاقة الوضع عند النقطة A ولذلك إذا فتح الصنبور S فإن الماء سوف يتدفق في اتجاه النقطة A إلى أن يصبح الفرق في طاقتي الوضع بين النقطتين A&B مساويا للصفر.
 
Figure 5.1
مثال (3)
هناك حالة مشابهة تماما للحالتين السابقتين في الكهربية، حيث نفترض أن النقطتين A&Bموجودتان في مجال كهربي ناتج من شحنة موجبة Q على سبيل المثال كما في شكل 5.2 .  إذا كانت هناك شحنة اختبار qo (مناظرة للجسم m في مجال عجلة الجاذبية الأرضية وكذلك لجزئ الماء عند النقطة B في المثال السابق) موجودة بالقرب من الشحنة Q فإن الشحنة qoسوف تتحرك من نقطة قريبة من الشحنة إلى نقطة أكثر بعداً أي من B إلى A وفيزيائيا نقول أن الشحنة qo تحركت من مناطق ذات جهد كهربي مرتفع إلى مناطق ذات جهد كهربي منخفض.  ولذلك يكون تعريف فرق الجهد الكهربي بين نقطتين A&B واقعتين في مجال كهربي شدته E بحساب الشغل المبذول بواسطة قوة خارجية (Fex) ضد القوى الكهربية (qE) لتحريك شحنة اختبار qo من A إلى B بحيث تكون دائما في حالة اتزان ( أي التحريك بدون عجلة).
 
Figure 5.2

إذا كانت هنالك بطارية فرق الجهد بين قطبيها 1.5volt فهذا يعنى إنها إذا ما وصلت في دائرة كهربية، فإن الشحنات الموجبة ستتحرك من الجهد المرتفع إلى الجهد المنخفض.  كما حدث في حالة فتح الصنبور في الأنبوبة U وستستمر حركة الشحنات حتى يصبح فرق الجهد بين قطبي البطارية مساوياً للصفر.

5.1 Definition of electric potential difference
We define the potential difference between two points A and B as the work done by an external agent in moving a test charge qo from A to B i.e.
VB-VA = WAB qo                         (5.1)

The unit of the potential difference is (Joule/Coulomb) which is known as Volt (V)

Notice
Since the work may be (a) positive i.e VB > VA
                                                (b) negative i.e VB < VA
                                    (c) zero i.e VB = VA

You should remember that the work equals
  

·       If  0 < q < 90 Þ cos q  is +ve and therefore the W is +ve
·       If 90 < q < 180 Þ cos q is -ve and therefore W is -ve
·       If q = 90 between Fex and l Þ therefore W is zero

The potential difference is independent on the path between A and B.  Since the work (WAB) done to move a test charge qo from A to B is independent on the path, otherwise the work is not a scalar quantity. (see example 5.2)

5.2 The Equipotential surfaces
As the electric field can be represented graphically by lines of force, the potential distribution in an electric field may be represented graphically by equipotential surfaces.
The equipotential surface is a surface such that the potential has the same value at all points on the surface.  i.e. VB -V= zero for any two points on one surface.
The work is required to move a test charge between any two points on an equipotential surface is zero. (Explain why?)
In all cases the equipotential surfaces are at right angles to the lines of force and thus to E. (Explain why?)

 

 Figure 5.3 (a)                             Figure 5.3 (b)
Figure 5.3 shows the equipotential surfaces (dashed lines) and the electric field lines (bold lines), (a) for uniform electric field and (b) for electric field due to a positive charge.


5.3 Electric Potential and Electric Field
Simple Case (Uniform electric field):
The potential difference between two points A and B in a Uniform electric field E can be found as follow,
Assume that a positive test charge qo is moved by an external agent from A to in uniform electric field as shown in figure 5.4.
The test charge qo is affected by electric force of qoE in the downward direction.  To move the charge from A to B an external force F of the same magnitude to the electric force but in the opposite direction.  The work W done by the external agent is:
Figure 5.4
WAB = Fd = qoEd                        (5.2)
The potential difference VB-VA is
                 (5.3)
This equation shows the relation between the potential difference and the electric field for a special case (uniform electric field).  Note that E has a new unit (V/m). hence,

 

The relation in general case (not uniform electric field):
If the test charge qo is moved along a curved path from A to as shown in figure 5.5.  The electric field exerts a force qoE on the charge.  To keep the charge moving without accelerating, an external agent must apply a force F equal to -qoE.
If the test charge moves distance dl along the path from A to B, the work done isF.dl.  The total work is given by,
      (5.4)
The potential difference VB-VA is,
       (5.5)
 
Figure 5.5
لاحظ هنا أن حدود التكامل من A إلى B هى التي تحدد المسار ومنه اتجاه متجه الإزاحة dlوتكون الزاوية q هي الزاوية المحصورة بين منتجه الإزاحة ومتجه المجال الكهربي.
If the point A is taken to infinity then VA=0 the potential V at point B is,
                (5.6)
This equation gives the general relation between the potential and the electric field.
Example 5.1
Derive the potential difference between points A and B in uniform electric field using the general case.

Solution

                          (5.7)
E is uniform (constant) and the integration over the path A to B is d, therefore
            (5.8)

Example 5.2
In figure 5.6 the test charge moved from A to B along the path shown.  Calculate the potential difference between A and B.
Figure 5.6

Solution

VB-VA=(VB-VC)+(VC-VA)

For the path AC the angle  q is 135o,
 
The length of the line AC is Öd
 
For the path CB the work is zero and E is perpendicular to the path therefore, VC-VA= 0
 


The Electron Volt Unit
A widely used unit of energy in atomic physics is the electron volt (eV). ELECTRON VOLT, unit of energy, used by physicists to express the energy of ions and subatomic particles that have been accelerated in particle accelerators. One electron volt is equal to the amount of energy gained by an electron traveling through an electrical potential difference of 1 V; this is equivalent to 1.60207 x 10–19J. Electron volts are commonly expressed as million electron volts (MeV) and billion electron volts (BeV or GeV).


Assume two points A and B near to a positive charge q as shown in figure 5.7.  To calculate the potential difference VB-VA we assume a test charge qo is moved without acceleration from A to B.
Figure 5.7

In the figure above the electric field E is directed to the right and dl to the left.
                (5.10)
However when we move a distance dl to the left, we are moving in a direction of decreasing r. Thus
                                              (5.11)

Therefore

-Edl=Edr                                                (5.12)
                          (5.13)
Substitute for E
                                     (5.14)

We get
        (5.15)

لاحظ هنا أن هذا القانون يستخدم لإيجاد فرق الجهد الكهربي بين نقطتين في الفراغ المحيط بشحنة q.

5.5 The potential due to a point charge
If we choose A at infinity then VA=0 (i.e. rA Þ ¥) this lead to the potential at distance r from a charge q is given by
                     (5.16)
Figure 5.8

This equation shows that the equipotential surfaces for a charge are spheres concentric with the charge as shown in figure 5.8.



لاحظ أن المجال الكهربي لشحنة يتناسب عكسيا مع مربع المسافة، بينما الجهد الكهربي يتناسب عكسيا مع المسافة.

5.6 The potential due to a point charge
يمكن باستخدام هذا القانون إيجاد الجهد الكهربي لنقطة تبعد عن شحنة أو أكثر عن طريق الجمع الجبري للجهد الكهربي الناشئ عن كل شحنة على حده عند النقطة المراد إيجاد الجهد الكلى عندها أي
V = V1 + V2 + V3 + ...........+ Vn    (5.17)
                    (5.18)
عند التعويض عن قيمة الشحنة q تأخذ الإشارة في الحسبان، لأنك تجمع جمعاً جبرياً هنا وليس جمعاً اتجاهياً كما كنا نفعل في المجال الكهربي حيث تحدد الإشارة الاتجاه على الرسم.

Example 5.3
What must the magnitude of an isolated positive charge be for the electric potential at 10 cm from the charge to be +100V?

Solution

 
 

 

 


5.7 Electric Potential Energy
The definition of the electric potential energy of a system of charges is the work required to bring them from infinity to that configuration.  

To workout the electric potential energy for a system of charges, assume a charge q2at infinity and at rest as shown in figure 5.11.  If q2 is moved from infinity to a distance r from another charge q1, then the work required is given by


    
Figure 5.11

W=Vq2
 

Substitute for V in the equation of work

               (5.20)
                                (5.21)
To calculate the potential energy for systems containing more than two charges we compute the potential energy for every pair of charges separately and to add the results algebraically.
                          (5.22)

القانون الأول يطبق في حالة شحنتين فقط، ولكن إذا كانت المجموعة المراد إيجاد طاقة الوضع الكهربي لها أكثر من شحنتين نستخدم القانون الثاني حيث نوجد الطاقة المختزنة بين كل شحنتين على حده ثم نجمع جمعا جبريا، أي نعوض عن قيمة الشحنة ونأخذ الإشارة بالحسبان في كل مرة.

If the total electric potential energy of a system of charges is positive this correspond to a repulsive electric forces, but if the total electric potential energy is negative this correspond to attractive electric forces. (explain why?) 
5.8 Calculation of E from V
As we have learned that both the electric field and the electric potential can be used to evaluate the electric effects.  Also we have showed how to calculate the electric potential from the electric field now we determine the electric field from the electric potential by the following relation.
                                 (5.23)
New unit for the electric field is volt/meter (v/m)

لاحظ أن العلاقة الرياضية  بين المجال الكهربي والجهد الكهربي هي علاقة تفاضل وتكامل وبالتالي إذا علمنا الجهد الكهربي يمكن بإجراء عملية التفاضل إيجاد المجال الكهربي.  وتذكر أن خطوط المجال الكهربي عمودية على أسطح متساوية الجهد equipotential surfaces.

Example 5.7
Calculate the electric field for a point charge q, using the equation 

Solution

 
 

ليست هناك تعليقات:

إرسال تعليق