التيار المتردد

التيار المتردد

Alternating Current Circuits

سندرس في هذه المحاضرة والمحاضرات القادمة المبادئ الأساسية لدوائر التيار المتردد.  حيث سنركز على تأثير التيار المتردد على المقاومة والمكثف والملف.  وقد سميت بدوائر التيار المتردد لأن التاير الكهربي يتغير مع الزمن بدالة جيبية كما لا حظنا في فكرة عمل المولد الكهربي والموتور.  سنعتمد في تحليل الدائرة الكهربية على قانون كيرشوف لإيجاد علاقة التيار بالجهد الكهربي على كل عنصر من عناصر الدائرة الكهربية.

يمثل مصدر القوة الدافعة الكهربية في الدائرة بالرمز      ويكون فرق الجهد

v = V_m sinwt

Where V_m is the Peak voltage and w is the angular velocity

w = 2pf = 2p/T

Where f is the frequency of the source and T is the period.

---

Resistor in an AC circuit

بتطبيق قانون كيرشوف على الدائرة الموضحة في الشكل والتي تتكون من مقاومة ومصدر تيار متردد.

v = v_R = V_m sinwt

حيث أن v_R قيمة فرق الجهد اللحظي المطبق على طرفي المقاومة وV_m القيمة العظمى لفرق الجهد،  وتكون قيمة التيار اللحظي

i_R = v/R = V_m/R sinwt = I_m sinwt

حيث أن I_m القيمة العظمى للتيار المار في المقاومة،

I_m= V_m/R

تعطى قيمة فرق الجهد اللحظي بدلالة التيار من خلال المعادلة التالية:

v_R = I_mR sinwt

من المعادلة الأخيرة نستنتج أن كلاً من الجهد والتيار يتغيران بدالة جيبية وبنفس الطور In Phase وهذا كما يوضحه الشكل التالي:

منحنيات الطور Phaseors Diagram

من المناسب الاستعانة بمنحنيات الطور التي توضح علاقة الطور بين التيار وفرق الجهد عند أية لحظة زمنية وذلك بتمثيل التيار بمتجه طوله I_m وفرق الجهد بمتجه طوله V_m ويصنع كل متجه زاوية wt مع المحور الافقي ويكون مسقط المتجهان على المحور الرأسي يمثلا قيمة التيار الحظي وفرق الجهد اللحظي.

 

Both the current and the voltage are in phase

القدرة الكهربة Power

تعطى القدرة الكهربية بالقلاقة P = i²R وحيث أن التيار المار في الدائرة الكهربية هو تيار متردد فإن تأثيره سيكون مختلف فيما لو عوضنا في المعادلة السابقة عن القيمة العظمى للتيار لأن ذلك لا يدوم إلا لفترة زمنية قصيرة وعليه يجب التعامل من قيمة تعبر عن متوسط قيمة التيار المتردد أو الجهد الكهربي وهذا مايعرف بـ root mean square حيث ان

 & 

وعليه تعطى القدرة الكهربية بـ P_av=I_rms² R

Inductor in an AC circuit

بتطبيق قانون كيرشوف على الدائرة الموضحة في الشكل والتي تتكون من ملف ومصدر تيار متردد.

 using the trigonometric identity

 cos wt = - sin (wt-p/2)

من المعادلة الأخيرة نستنتج أن التيار يتأخر عن الجهد بزاوية مقدارها 90 درجة وهنا يكون الطور بينهما مختلف كما يوضحه الشكل التالي:

حيث أن I_m القيمة العظمى للتيار المار في الملف وتعطى بالعلاقة،

where X_L is called inductive reactance

X_L= wL

تعطى قيمة فرق الجهد اللحظي بدلالة التيار من خلال المعادلة التالية:

v_L = V_m sinwt ₌ I_mX_L sinwt

Capacitor in an AC circuit

بتطبيق قانون كيرشوف على الدائرة الموضحة في الشكل والتي تتكون من مكثف ومصدر تيار متردد.

v  - v_C = 0

v = v_C = V_m sinwt

حيث أن v_C قيمة فرق الجهد اللحظي المطبق على طرفي المكثف ونعلم أن

v_C = Q/C

Q = CV_m sinwt

The current i_C = dQ/dt

i_C = dQ/dt = wCV_m coswt

 using the trigonometric identity

 cos wt =  sin (wt+p/2)

من المعادلة الأخيرة نستنتج أن التيار يتقدم عن الجهد بزاوية مقدارها 90 درجة وهنا يكون الطور بينهما مختلف كما يوضحه الشكل التالي:

حيث أن I_m القيمة العظمى للتيار المار في المكثف وتعطى بالعلاقة،

where X_C is called capacitive reactance

X_C= 1/wC

تعطى قيمة فرق الجهد اللحظي بدلالة التيار من خلال المعادلة التالية:

v_C = V_m sinwt ₌ I_mX_C sinwt

The RLC series circuit

تحتوي الدائرة الكهربية على مقاومة وملف ومكثف موصولة على التوالي ويكون الجهد المطبق يعطى بالعلاقة التالية

v  = V_m sinwt

ويكون التيار الكهربي المار في الدائرة الكهربية على النحو التالي

i =  I_m sin(wt-f)

where f is the phase angle between the current and the applied voltage. 

سنقوم بحساب كلا من التيار I_m و f. 

في الشكل المقابل توضيح علاقة اختلاف الطور في الجهد الكهربي المطبق على كل عنصر من العناصر الثلاثة في الدائرة الكهربية السابقة.  وحيث أن التوصيل على التوالي فإن التيار الكهربي المار في كل عنصر له نفس المقدار والطور عند أي زمن. وسيكون الجهد الكهربي المطبق على كل عنصر من عناصر الدائرة يعطى بالمعادلات التالية:

المقاومةالملف المكثف

vR = ImR sinwt = VR sinwt vL = ImXL sin(wt+p/2) = VL coswt vC = ImXC sin(wt-p/2) = -VCcoswt

وتعطى القيم العظمى من خلال المعادلات التالية

V_R = I_mR

V_L = I_mX_L

V_C =  I_mX_C

عند أي زمن يكون الجهد الكهربي على العناصر الثلاثة مساوية للجهد الكهربي للمصدر وهذا يمكن التعبير عنه من خلال المعادلة التالية:

v = v_R + v_L + v_C

حيث ان التيار المار في الدائرة له نفس القيمة والطور عند اي لحظة لان التوصيل على التوالي.  وللحصول حل للمعادلة v = vR + vL + vC نستخدم phasors diagram كما في الشكل االمقابل وحاصل الجمع الاتجاهي لكل متجه يعطي القيمة العظمي للجهد والتي تعمل زاوية f مع المحور الافقي.

X_L= wL    &    X_C= 1/wC, the maximum current can be given by

The impedance of the circuit is Z and it is equal to

Therefore,

V_m = I_m Z

وهذا يسمى قانون اوم العام وتكون وحدة Z الأوم والني تعرف باسم المعاوقةimpedance

زاوية الطور f

---

عندما تكون معاوقة الملف اكبر من معاوقة المكثف X_L>X_C  وهذا يكون عند الترددات العالية تكون زاوية الطور f موجبة.  وهذا يعني أن التيار يتأخر عن الجهد.

عندما تكون معاوقة الملف اصغر من معاوقة المكثف X_L<X_C  وهذا يكون عند الترددات المنخفضة تكون زاوية الطور f سالبة.  وهذا يعني أن التيار يتقدم الجهد.

عندما تكون معاوقة الملف تساوي من معاوقة المكثف X_L=X_C  وهذا يعني أن معاوقة الدائرة للتيار المتردد تساوي المقاومة R فقط.  وهذا يحدث عند تردد يعرف بالرنين Resonance.

تطبيقات على دوائر التيار المتردد

عندما يكون التيار المتردد المار في دائرة RLC اكبر ما يمكن تكون الدائرة في حالة الرنينResonance وهذا يعني ان مقاومة الدائرة للتيار اقل مايمكن.

وحيث أن معاوقة الدائرة Impedance تعتمد على تردد التيار المار في الدائرة.  ومن المعادلة السابقة نلاحظ ان التيار اكبر ما يمكن عندما تكون X_L-X_C=0. وفي هذه الحالة تكون المعاوقة تساوي المقاومة Z=R.  والتردد الذي يجعل ذلك متحقق يسمى تردد الرنين ResonanceFrequency w_o.

X_L-X_C=0

        

وهذه قيمة ترد الرنين الذي يمر في دائرة الـ RLC بأقل مقاومة.  والتيار يصل إلى قيمة عظمى عند التردد w_o  والذي يعتمد على قيمة سعة المكثف C والحث الذاتي للملف L.

يوضح الشكل المقابل العلاقة بين تردد تيار المصدر المار في دائرة RLC وقيمة التيار عند مقاومات مختلفة.  نلاحظ أن القيمة العظمى للتيار تزداد كلما قلت قيمة المقاومة R ونلاحظ أيضا ان القيمة العظمى للتيار تكون عند التردد w_o وذلك لان كلا من السعة والحث الذاتي لم يتغيرا.

تستخدم دوائر الرنين في اجهزة الاستقبال مثل الراديو والتلفزيون حيث ان لكل محطة اذاعية او تلفزيونية لها تردد محدد وبجهاز الاستقبال نستقبل التردد الذي يمر في دائرة الرنين والذي تكون مقاومته له اقل ما يمكن وباقي الترددات لا تمر لان معاوقة دائرة الاستقبال لها تكون كبيرة وبتغير سعة المكثف (عن طريق ادارة الواح المكثف لتغير المساحة) يمكن التنقل بين المحطات.  وبالتالي كلما كان اتساع منحني التيار والتردد اقل ما يمكن كلما كانت قدرة جهاز الاستقبال احسن لأانها سوف تفصل بين الترددات المتجاورة.  وهذا يلعب دورا في تقييم اجهزة الاستقبال وتحديد سعرها.

---

تستخدم المرشحات في الدوائر الكهربية مثل دوائر الاستقبال في الراديو للتخلص من الترددات التي قد تشوش على الاشارة المراد التقاطها وتكبيرها وتتكون المرشحات الكهربية من مقاومة ومكثف موصلين على التوالي. يمكن ترشيح الترددات العالية او الترددات المنخفضة وذلك من خلال طريق توصيل المقاومة والمكثف كما سنرى بعد قليل......

High-pass filter

توضح الدائرة الكهربية المبينة في الشكل المقابل فكرة عمل مرشح الترددات العالية High-pass filter.  حيث ان المصدر متصل مع المكثف والمقاومة على التوالي ويكون الجهد الناتج على طرفي المقاومة.

القيمة العظمى للجهد V_in تعطى بالعلاقة

وقيمة الجهد الناتج على طرفي المقاومة يعطى من خلال قانون اوم

V_out = I_m R

بقسمة المعادلتين نحصل على المعادلة التالية

من المعادلة نلاحظ أن عند الترددات المنخفضة تكون قيمة الجهد Vout اقل بكثير من Vin وعند الترددات المرتفعة تكون قيمتي الجهد متساويتيين Vin=Vout.  وهذا يعني ان الدائرة تمرر فقط الترددات المرتفعة ولذلك سميت High-pass filter بينما الترددات المنخفضة توقف ولا تمرر.

---

Low-pass filter

في حالة توصيل المخرج على طرفي المكثف بدلا من المقاومة يصبح عمل المرشح هو تمرير الترددات المنخفضة وحجب الترددات العالية.

وقيمة الجهد الناتج على طرفي المكثف يعطى كالتالي:

بقسمة المعادلتين نحصل على المعادلة التالية

من المعادلة نلاحظ أن عند الترددات المنخفضة تكون قيمتي الجهد Vout و Vin متساويتين بينما عند الترددات المرتفعة قيمة الجهد Vout أقل بكثير من Vin وهذا يعني ان الدائرة تمرر فقط الترددات المنخفضة ولذلك سميت Low-pass filter بينما الترددات المرتفعة توقف ولا تمرر.

كما يمكن استخدام مقاومة وملف RL Filters للحصول على مرشح يعمل بنفس الفكرة.  كما يمكن تصميم مرشح يمرر حزمة من الترددات Band-pass filter

---

تستخدم المحولات الكهربية في كافة التطبيقات اما لرفع الجهد أو خفضه حسب الحاجة.  ففي محطات توليد  الطاقة الكهربية يتم رفع فرق الجهد إلى قيم مرتفعة جدا تصل إلى 350000 فولت عند تيار كهربي صغير وذلك لتقليل الطاقة المفقودة على شكل حرارة I²R. ولتحقيق ذلك نحتاج الى المحول الكهربي الذي يقوم برفع او خفض الجهد الكهربي والتيار الكهربي دون احداث تغيير في قيمة حاصل ضرب IV.

يتكون المحول الكهربي Transformer مضلح معدني لنقل الفيض المغناطيسي كما في الشكل المقابل، بين ملفين يسمى الاول الملف الرئيسي Primary ويسمى الثاني بالملف الثانويSecondary.  يتم توصيل الملف الرئيسي بالمصدر المراد رفع او خفط قيمة جهده بينما نحصل من الملف الثانوي على النتيجة.  مثل المحول المستخدم في تشغيل بعض الاجهزة الكهربية التي تحتاج الى 9 فولت فيقوم المحول بخفض قيمة الجهد من 220 فولت الى 9 فولت لتناسب تشغيل الجهاز.

بالتحكم بعدد لفات كلا من الملف الرئيسي والملف الثانوي يمكن رفع او خفض الجهد حسب النسبة بين عدد لفات الملفين كما هو موضح في المعادلات التالية:

ينتقل الفيض المغناطيسي من المتولد في الملف الرئيسي عبر مادة المعدن الى الملف الثانوي حيث يتولد فرق جهد يعطى من قانون فراداي على النحو التالي:

بتقسمة المعادلتين نحصل على

عندما تكون N₂ أكبر من N₁ يكون فرق الجهد الناتج اكبر من فرق جهد المصدر V₂>V₁ وها ما يعرف بمحول رافع الجهد Step-up transformer.  بينما يحدث العكس اذا كانت N₂ اقل من N₁ ويكون المحول خافضا للجهد Step-down-transformer.