الحركة في بعدين

Motion in two dimensions

Motion in two dimensions like the motion of projectiles and satellites and the motion of charged particles in electric fields.  Here we shall treat the motion in plane with constant acceleration and uniform circular motion.

درسنا في الفصل السابق الحركة في بعد واحد أي عندما يتحرك الجسم في خط مستقيم على محور x أو أن يسقط الجسم سقوطاً حراً في محور y، سندرس الآن حركة جسم في بعدين أي في كل من x,y مثل حركة المقذوفات حيث يكون للإزاحة والسرعة مركبتان في اتجاه المحورx والمحور y.

Motion in two dimension with constant acceleration

Assume that the magnitude and direction of the acceleration remain unchanged during the motion. 

The position vector for a particle moving in two dimensions (xy plane) can be written as

              

where x, y, and r change with time as the particle moves

The velocity of the particle is given by

Since the acceleration is constant then we can substitute

v_x = v_xo + a_xt                v_y = v_yo + a_yt

this give

            v = (v_xo + a_xt)i + (v_yo + a_yt)j

                = (v_xo i + v_yo j) + (a_x i + a_yj) t

then

v = v_o + a t                                          (***)

من المعادلة (***) نستنتج أن سرعة جسم عند زمن محدد t يساوى الجمع الاتجاهى للسرعة الابتدائية والسرعة الناتجة من العجلة المنتظمة.

Since our particle moves in two dimension x and y with constant acceleration then

x = x_o + v_xo t + 1/2 a_x t ²  &         y = y_o + v_yo t - 1/2 a_y t ²

but

r = xi + yj

r = (x_o + v_xo t + 1/2 a t ²)i + (y_o + v_yo t - 1/2  g t ²)j

  = (x_o i + y_o j) + (v_xoi+ v_yoj)t +1/2 (a_xi+ a_yj)t ²

r = r_o + v_ot + 1/2 a t ²                                            (###)

من المعادلة (###) نستنتج أن متجه الإزاحة r-r_o هو عبارة عن الجمع الإتجاهى لمتجه الإزاحة الناتج عن السرعة الابتدائية v_ot والإزاحة الناتجة عن العجلة المنتظمة ^.1/2 a t ².

Projectile motion

تعتبر حركة المقذوفات Projectile motion من الأمثلة على الحركة في بعدين، وسوف نقوم بإيجاد معادلات الحركة للمقذوفات لتحديد الإزاحة الأفقية والرأسية والسرعة والعجلة من خلال العديد من الأمثلة.

Example

A good example of the motion in two dimension it the motion of projectile.  To analyze this motion lets assume that at time t=0 the projectile start at the point x_o=y_o=0 with initial velocity v_o which makes an angle q_o, as shown in Figure 2.5.

  

then

v_x = v_xo = v_ocosq_o = constant

v_y = v_yo  - gt = v_osinq _o - gt

            x = v_xo t = (v_ocosq_o)t                                       

y = v_yo t - 1/ g t² =  (v_osinq _o)t - 1/2 g t²          

Horizontal range and maximum height of a projectile

It is very important to work out the range (R) and the maximum height (h) of the projectile motion.

To find the maximum height h we use the fact that at the maximum height the vertical velocity v_y=0

by substituting in equation

v_y = v_osinq _o - gt                 

           

To find the maximum height h we use the equation

 y =  (v_osinq _o)t - 1/2 g t ²                        

by substituting for the time t₁ in the above equation

 

من المعادلة  (الأخيرة)نلاحظ أقصى ارتفاع يصل إليه الجسم المتحرك في بعدين كحركة المقذوفات على عجلة الجاذبية، وعليه فإن المقذوفات على سطح القمر تأخذ مساراً ذا مدى وارتفاع أكبر منه على سطح الأرض كما في الشكل أدناه.

 

---

Example

Suppose that in the example above the object had been thrown upward at an angle of 37^o to the horizontal with a velocity of 10m/s.  Where would it land?

Solution

Consider the vertical motion

v_oy = 6 m/s

a_y = -9.8m/s2

y = 20m

To find the time of flight we can use

y = v_yo t - 1/2 g t ²

since we take the top of the building is the origin the we substitute for

y = -20m

-20 = 6 t - 1/2  9.8 t ²

t = 2.73s

Consider the horizontal motion

v_x = v_xo = 8m/s

then the value of x is given by

            x = v_x t = 22m

---

Example

In the Figure shown below where will the ball hit the wall

Solution

v_x = v_xo = 16m/s

x = 32m

Then the time of flight is given by

x =vt

t =2s

To find the vertical height after 2s we use the relation

y = v_yo t - 1/2 g t ²

Where v_yo = 12m/s,   t =2s

y = 4.4m

Since y is positive value, therefore the ball hit the wall at 4.4m from the ground

To determine whether the ball is going up of down we estimate the velocity and from its direction we can know

v_y = v_yo  - gt

v_y = -7.6m/s

Since the final velocity is negative then the ball must be going down.