الضوء الهندسي

الضوء الهندسي
Geometrical Optics

ظاهرة الانعكاس وتطبيقاتها على المرايا

Reflection and Mirrors

إن حاسة الابصارمن الحواس الخمسة التي انعم الله بها علينا لنرى بها الأشياء من حولنا.وتعتمد الرؤية على الضوء الذي ينعكس عن الأجسام ويدخل الى العين فتتكون صورة الجسم على شبكية العين التي تحتوي على ملايين المجسات الحساسة للضوء ليقوم كل مجس بتحويل الضوء الى اشارات كهربية عبر العصب البصري إلى مركز الابصار في الدماغ الذي يقوم بترجمة ذلك إلى صورة في ادمغتنا عن الجسم الذي ننظر إليه. 

والضوء هو عبارة عن أمواج كهرومغناطيسية تنتشر في الفراغ بسرعة 300 مليون متر/ثانيةوللضوء كأي موجة له طول موجي وتردد واحساسنا بالضوء هو في مدي محدد من ذلك الطيف الكهرومغناطيسي الذي يسمى بالمدى المرئي visible region، والشكل التالي يوضح الطيف الكهرومغناطيسي والجز المرئي منه

اضغط على الصورة للتكبير

إإن خصائص الضوء حيرت العلماء على مر العصور فأحياناً فسرت بعض الظواهر الضوئية مثل الانعكاس والانكسار على ان للضوء له خسائص جسيمية ويتصرف كالجسيمات والعلمي الذي يهتم بطبيعة الضوء الجسيمية يسمى الضوء الهندسي geometrical optics ولكن في ظواهر اخرى مثل الحيود والتداخل والاستقطاب فسر الضوء على انه موجة والعلم الذي يدرس الضوء على إنه موجة يسمى الضوء الفيزيائي physical optics.

هنا في هذه المحاضر سنركز على موضوع الضوء الهندسي وندرس ظاهرة الانعكاس والانكسار وتطبيقاتها في تكوين الصورة باستخدام المرايا والعدسات.

---

ظاهرة الانعكاس

Reflection of light

الانعكاس: تكون الصورة بواسطة المراياReflection: Image formation by mirrors

عندما يصطدم شعاع من الضوء على سطح عاكس فإن جزء منه ينعكس والجزء الآخر يمتص في مادة الجسم العاكس أو ينفذ منه اذا كان من مواد شفافة مثل الماء والزجاج وتحدث عملية الانكسار.  الاسطح اللامعة مثل اسطح المرايا المصنوعة من الفضة تمثل الاشعة المنعكسة اكثر من 90% من الشعاع الساقط.

قانون الانعكاس Reflection Law

عند سقوط شعاع ضوئي على سطح عاكس فإننا نعرف زاوية السقوط angle of incidence qiعلى انها الزاوية المحصورة بين الشعاع الساقط والعمود المقام على السطح العاكس عند نقطة السقوط.  ونعرف زاوية الانعكاس angle of reflection  qr على انها الزاوية المحصورة بين الشعاع المنعكس والعمود المقام عند نقطة الانعكاس. وقد وجد بالتجربة العملية ان زاوية السقوط تساوي زاوية الانعكاس وان كلاً من الشعاع الساقط والشعاع المنعكس والعمود المقام بينهم يقعوا في مستوى واحد.

ومما سبق نوضح ان قانون الانعكاس ينص على

زاوية السقوط qi =  زاوية الانعكاس qr

أولاً تكون الصورة بواسطة المرآة المستوية

Image formation by plane (flat) mirror

المرآة المستوية عبارة عن لوح زجاجي مستوي أحد سطحيه مغطى بمادة عاكسة للضوء،  تتكون الصورة في المرايا المستوية كما هو موضح في الشكل التالي:

الضوء الساقط على الفراشة في الشكل اعلاه ينعكس على المرآة بحيث أن زاوية السقوط تساوي زاوية الانعكاس والاشعة المنعكسة عند وسقوطها على العين تتم رؤية الصورة التي تكون معتدلة ومساوية للجسم ولكن تخيلية virtual image حيث لا يمكن استقبال الصورة على حائل انما الصورة هي عبارة عن تخيل الدماغ لها وهنا في الشكل تم تشبيه ذلك بامتداد الاشعة الساقطة على العين على استقامتها داخل المرأة لتجمع الصورة.

الصورة المتكونة بواسطة المرآة المستوية plane (flat) mirror لها الخصائص التالية:

            معتدلة upright

            مساوية للجسم (لا يوجد تكبير)

            خيالية virtual

            بعد الجسم عن المرآة d_o يساوي بعد الصورة عن المرآة d_i.

---

ثانياً تكون الصورة بواسطة المرآة الكروية

Image formation by spherical mirror

من الممكن ان يكون السطح العاكس عبارة عن سطح مقتطع من كرة، فإذا كان السطح العاكس هو السطح الخارجي للكرة تسمى هذه بالمرآة المحدبة convex mirror، اما اذا كان السطح العاكس هو السطح الداخلي من الكرة فإنها تسمى بالمرآة المقعرة concave mirror.

لاحظ في الشكل التالي أن المرآة المحدبة convex mirror تفرق الأشعة بينما المرآة المقعرةconcave mirror تجمع الأشعة.i

البعد البوئري للمرأة الكروية Focal length of spherical mirror

افترض مصدر ضوئي بعيد جداً مثل اشعة الشمس تسقط على سطح مرآة مقعرة concave mirror وحيث ان المصدر الضوئي بعيد جداً فإن الأشعة الساقطة على المرآة تكون متوازية كما في الشكل ادناه، تنعكس الأشعة عن السطح العاكس بحيث تكون زاوية السقوط تساوي زوية الانعكاس ونجد ان جميع الأشعة تتجمع في نقطة واحدة تسمى نقطة التركيز البؤرةfocus point ويرمز لها بالرمز F والمسافة بين نقطة التركيز وبعدها عن المرآة A يسمى البعد البؤري للمرأة focal length ويرمز له بالرمز f.

يوضح الشكل مرآة مقعرة تسقط عليه اشعة متوازية فتتجمع في البؤرة وعلى الشكل نلاحظ المحور الرئيسي للمرآة principal axis وهو المحور الأفقي العمودي على المرآة والمار في مكزها، مركز المرأة يسمى مركز التقعر center of curvature ويرمز له بالرمز C وهو مركز الكرة التي اقتطعت منها المرآة والمسافة بين مركز التكور والمرآة يسمى نصف قطر التقعر raduis of curvature ويرمز له بالرمز r يتقاطع مع المرآة

نستنتج ان الأشعة المتوازية التي تسقط على المرآة المقعرة تنعكس دائماً مارة بالبؤرة. ولكن ما العلاقة بين البعد البؤري f ونصف قطر التقعر r.  للأجابة على هذا التساؤل دعنا نستعين بالشكل التالي

لنأخذ شعاع ضوئي يسقط موازي للمحور الضوئي للمرآة عند النقطة B على سطح المرآة ينعكس ماراً بالبؤرة F.  من الشكل السابق نجد أن المسافة CB تساوي r (نصف قطر التقعر) وCB عمودي على سطح المرآة عند النقطة B، من الشكل السابق نجد ان المثلث CBFمتساوي الساقين أي ان النسافة CF تساوي المسافة FB، كما أن FB يساوي FA وحيث انFA هي البعد البؤري f نستنتج من ذلك ان CA تساوي 2FA اي ان

r = 2f

وهذ يعني ان البعد البؤري يساوي نصف المسافة r (نصف قطر التقعر للمرآة).

الطريقة البيانية لتحديد مواصفات الصورة المتكونة عن المرآة المقعرة

يمكن تحديد مواصفات الصورة الناتجة عن المرايا الكروية عن طريق الرسم وذلك من خلال تقاطع ثلاث أشعة ضوئية رئيسية كما في الشكل التالي

حالة (1)

افترض جسم موجود على مسافة اكبر من نصف قطر التقعر فإنه لتحديد مواصفات الصورة نتبع ما يلي: (1) نرسم شعاع من الجسم موازي للمحور الضوئي للمرآة ينعكس ماراً بالبؤرة (الشعاع الأزرق). (2) نرسم شعاع من الجسم يمر في البؤرة فينعكس عن المرآة موازياً للمحور الضوئي (الشعاع الزهري). (3) نرسم شعاع من الجسم إلى المرآة ماراً بمركز المرآة C فينعكس على نفسه (الشعاع الأصفر). لاحظ أن الصورة المتكونة I هي صورة مصغرة مقلوبة وحقيقية.

تقاطع الأشعة الثلاثة يحدد موقع الصورة ويمكن تحديد اذا كانت الصورة مكبرة ام مصغرة مقلوبة ام معتدلة وحقيقة او تخيلية وفيما يلي بعض الحالات المختلفة للصورة عند تغير بعد الجسم عن المرأة.

حالة (2) عندما يكون الجسم على بعد يساوي نصف قطر التقعر للمرآة فإن الصورة تكون على نفس المسافة ومساوية للجسم ومقلوبة وحقيقية.
حالة (3) عندما يكون الجسم بين البعد البؤري fونصف قطر التقعر r تكون الصورة حقيقية معتدلة مصغرة.
حالة (4) عندما يكون الجسم عن مسافة أقل من البعد البؤري فإن الصورة تكون خيالية مكبرة معتدلة.
حالة (5) عندما يكون الجسم على مسافة مساوية للبعد البؤري f فإن الصورة تكون في المالانهاية، لا توجد صورة.

 

ملاحظة

ينطبق كل ما سبق على المرآة المحدبة convex mirror. على ان نراعي أن البعد البؤري للمرآة المحدبة f ومركز التحدب C خلف السطح العاكس كما في الشكل التالي:

مرآة محدبة convex mirror

تتكون الصورة بالرسم البياني كما سبق توضيحه ولكن تكون الصورة خيالية دوماً

تكون الصورة بواسطة المرآة المحدبة convex mirror

---

معادلة المرايا Mirror equation

يمكن الخصول على مواصفات الصورة بطريقة رياضية بدلا عن استخدام الطريقة البيانية التي تصبح صعبة عند التعامل مع نظام مكون من أكثر من مرآة.

لذلك نستخدم معادلة رياضية تربط بين بعد الجسم عن المرآة d_o وبعد الصورة عن المرآة d_iوالبعد البؤري f.

اشتقاق معادلة المرآة

افترض جسم على بعد مسافة d_o من مرآة مقعرة بحيث d_o بين البعد البؤري ونصف قطر التقعر كما في الشكل التالي:

تتكون صورة الجسم من خلال استخدام شعاعين احدهما يسقط ماراً في البؤرة وينعكس عن المرآة موازياً للمحور الضوئي والثاني يسقط في مركز المرآة عند النقطة A فينعكس بزاوية سقوط تساوي زاوية الانعكاس.

بتجزئة الشكل اعلاه للمسار الضوئي الأول والثاني نحصل على

من الشكل السابق يمكن الحصول على الشكل المبسط التالي ويظهر فيه المثلثين ABV و DCVمتشابهين اذا نحصل على العلاقة التالية

كذلك المثلثين ABF و D'VFمتشابهين ايضا. اذا يكون بالتقسيم على do طرفي المعادلة نحصل على معادلة المرايا.

Mirror equation

حيث ان

           f = focal length (m)
           d_o = distance from mirror to object (m)
           d_i= distance from mirror to image (m)

التكبير Magnification

يعرف التكبير m لمرآة بأنه ارتفاع الصورة hi مقسوماً على ارتفاع الجسم ho، فإذا كان التكبير اكبر من واحد فإن الصورة اكبر من الجسم أما اذا كان التكبير اقل من واحد تكون الصورة اصغر من الجسم.

 

ولكن مما سبق وجدنا ان النسبة بين hi/ho تساوي النسبة بين di/do وبالتالي فإن التكبير يمكن ان يحسب من المعادلة التالية ايضا اذا توفرت المعلومات لذلك بحيث أن

والأشارة السالبة اضيفت لتحقق مفهوم اصطلاح الاشارة الذي سنشرحه في الموضوع القادم.  اذا التكبير يعطى بالمعادلة التالية:

 

       h_i = height of the image (m)
       h_o = height of object (m)
       m = magnification (how many times bigger or smaller)

اصطلاح الاشارة للمرايا Sign convention for mirrors

اشارة كلا من d_o و d_i تحدد ما إذا كان الجسم او الصورة حقيقي real او تخيلي virtual، بينما تحدد اشارة التكبير اذا ما كانت الصورة معتدلة upright أو مقلوبة inverted وذلك على النحو التالي:

do	+	عندما يكون الجسم امام المرآة	الجسم حقيقي real object
do	-	عندما يكون الجسم خلف المرآة	الجسم تخيلي virtual object
di	+	عندما تكون الصورة خلف المرآة	الصورة حقيقية real image
di	-	عندما تكون الصورة امام المرآة	الصورة تخيلية virtual image

اما بالنسبة لاشارة كلاً من f و r فتكون على النحو التالي

r & f	+	عندما يكون البعد البؤري امام المرآة	مرآة مقعرة  concave mirror
r & f	-	عندما يكون البعد البؤري خلف المرآة	مرآة محدبة  convex mirror

أما بالنسبة لأشارة التكبير M

M	+	تكون الصورة معتدلة upright
M	-	تكون الصورة مقلوبة inverted

سيتضح مفهوم اصطلاح الأشارة من خلال الامثلة المحلولة التالية

---

Example 1

A 1.5 cm high diamond ring is placed 20 cm from a concave mirror whose radius of curvature is 30 cm. Determine (a) the position of the image, and (b) its size.

Solution

(a)نحسب موقع الصورة من معادلة المرايا

              

أي ان

              

بالتعويض عن قيمة f=r/2 نحصل على

              

تذكر ان ما تم حسابه هو 1/d_i لذلك تكون قيمة d_i

              

وحيث أن اشارة d_i موجبة مما يعني ان الصورة حقيقية

(b) التكبير يحسب على النحو التالي

              

              h_i = m h_o = -3 x 1.5 = -4.5cm

والاشارة السالبة تفيد أن الصورة تكون مقلوبة 

---

Example 2

A 1cm high object is placed 10cm from a concave mirror whose raduis of curvature is 30cm. (a) Draw a ray diagram to locate the position of the image. (b) Determine the position of the image and the magnification analytically.

Solution

(a) المخطط المطلوب هو

يتضح من المخطط ان الصورة معتدلة مكبرة تخيلية ويمكن ان نصل إلى نفس النتيجة من خلال استخدام معادلة المرايا والتكبير.

(b) موضع الصورة باستخدام معادلة المرايا

              

أي ان

              

              

              

تدل الأشارة السالبة على ان الصورة تخيلية.

ولحساب التكبير

              

وهذا يعني ان الصورة أكبر من الجسم بثلاث مرات ومعتدلة

---

Example 3

A convex rearview car mirror has a radius of curvature of 40 cm. Determine the location of the image and its magnification for an object 10m from the mirror.

Solution

لتوضيح فكرة السؤال نستعين بالرسم التالي:

تكون اشارة البعد البؤري سالبة لانها خلف المرآة وتساوي 40/2 لأن f=r/2

f=r/2=-40/2 =-20cm

نطبق معادلة المرايا للحصول على موقع الصورة

              

أي ان

              

               

              

وهذا يعني ان الصورة تخيلية وعلى مسافة 19.6cm خلف المرآة.

ولحساب التكبير

أي أن الصورة معتدلة مصغرة.

---

Example 4

A convex mirror has a radius of 20 cm. An object is placed 30 cm in front of the mirror. Determine where the image will appear.

Since the radius is 20 cm (which is the distance from the mirror to the centre), and since the focal point is half ways in between and negative for a convex mirror,
f = -10 cm.

                     

Since d_i is negative, it appears behind the mirror as a virtual image.

---

Example 5

For the same situation from Example 4, determine how tall the image is if the object is 5.0cm tall. Also determine the magnification.